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一道有趣的推理题

问题

首先看到这道题会感觉一脸懵逼,这是啥题,仔细看发现可能会需要不断枚举来尝试推测可行解,如果一个个枚举的话,每道题有 4 种可能性,10 道题就有410=10485794^{10} = 1048579 种可能性,太过于庞大了,如果要手动枚举的话必须要注意技巧剪枝

根据题目我们可以得到一些基本信息

  1. 每道题都是单选题

    这个约束很强,如果发现一道题 2 个答案都对,那这个答案肯定是错的

  2. 出现最少的答案只能出现 0 或 1 次

    这个结论非常有用,这个结论跟第 7 问紧密相关,因为第 7 问是单选题,所以如果最少的那个选项出现了 2 次,那么其它 3 个选项至少每个出现 3 次,那么总次数就超过 10 次了,不合理。因为这里题目比较复杂,知觉告诉我不会出现最少次数为 0 的情况,所以暂且认为最少的那个选项只出现 1 次

既然要推理那必须先做一些假设,如果推到矛盾则说明假设错误,换一个假设继续往下推。这里有 10 道题,案例来说可以从任何一道题入手假设,但是为了方便起见,我们最好先假设能带来最多信息量的那道题,道理很显然,第一问什么信息量都没有,如果从第一问入手,那就是白费力气,大体看来第 6、9 问包含的信息量比较大,分别与 3、4 个问题相关

我是从第 6 问开始推理的,也许从第 9 问入手会简单点吧(先不管了)第 6 问有 4 个可能性,按顺序来假设吧。因为我已经把题目做出来了,所以是开了上帝视角,先可以排除 2 个很显然的错误选项

若第 6 题选 D,则 5、8、9 这 3 题答案相同,根据第 5 题规则,如果 5、8、9 相同的话,第 5 题就出现多选了,AC 都可以,所以第 6 题不能选 D

若第 6 题选 B,则 1、6、8 这 3 题答案相同都为 B,

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B D B (B) B D B
B (D) B B

根据第 8 题的条件,第 5 题的答案和第 1 题的答案不相邻,所以第 5 题可选 B/D,如果 5 选 B 的话,最后会得到 7 是 D,这时候 D 出现了 2 次,不可能是最少的。如果 5 选 D,则直接得到 7 也是 D,出现 2 次不可能是最少的,所以 6 不可能是 B

接下来尝试如果 6 选 A 会怎样,若 6 选 A,则 2、4、8 答案相同,同理先假设信息量多的

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A A A(x) A C A A C
B B D A D(x) B
C C A(x) A C
D D B(x) A D

所以如果 6 选 A,2、4、8 没有得选,(ABCD 都是错的)

所以 6 只能选 C,3、8、10 答案相同,继续往下推理

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 备注
(B/D) C A C A C (D/B) A (B/D) A
D C A C A C B A D(x) A 9 和 5 必需相同但是推到不同
B C A C A C D A B A
B B B D C D(x) B B 第 7 题不能选 D
(A/B/D) C C C C (A/B/D) C
A C C C(x) C C A C 5 选 C 和 9 冲突
B C C C(x) C C B C 5 选 C 和 10 冲突
D (A/B) C C (A/B) C C D C
D A C C A(x) C C D C 2 选 A 跟 5 选 A 冲突
D B C C B C C D C 2 选 B 跟 5 选 B 冲突
D(x) C D D 3 选 D,按第 3 题条件 2、3、6 必需选一样的,矛盾

综上,我们会发现符合条件的解只有:BCACA CDABA 这一个

做这个题需要很仔细推理,一旦发现不符合的就及早换思路,如果发现了一个符合条件的,那也要再验证一遍看是否符合单选的要求,很幸运我们得到的这组解符合要求