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一道简单的微分方程题

小老弟在俄罗斯读书,他们那边数学系似乎对计算要求很高,我拿到题看了一眼感觉就是简单的计算,一般数学系比较重视证明而轻视计算,记得当初上大学时我大一数学是最好的一年,因为那时候学微积分只要掌握好公式和题型就能解题,后来大二大三就跟不上了,因为那些证明题根本不会

下面是他发我的原题

原题

都是些微分方程的题,思考了一下,只记得分离变量法,但是这些题看起来这么复杂分离变量法应该用不上,后来经过不断的googe才发现这些题都属于伯努利问题,看了一下网上的介绍之后就开始自己做吧

xyy=xy2y(1)=2xy'-y=xy^2 \\ y(1) = 2

先转为微分的形式更好看

xdydxy=xy2(1)\tag {1} x\frac {dy} {dx}-y=xy^2 u=1y,则y=1udydx=dydududxdydx=1u2dudx\newline 令u=\frac 1 y,则y=\frac 1 u \\ \because \frac {dy} {dx} = \frac {dy} {du} \frac {du} {dx} \\ \therefore \frac {dy} {dx} = - \frac 1 {u^2} \frac {du} {dx}

将结果代入(1)得到

dudx=1ux(2)\tag{2} \frac {du} {dx} = -1 - \frac {u} {x}

此时还不是齐次的,因为-1不等于0,要继续换元

u=vwdudx=dvdxw+dwdxv令 u = vw \\ \frac {du} {dx} = \frac {dv} {dx}w + \frac {dw} {dx} v

代入(2)得到

w(dvdx+vx)+vdwdx=1(3)\tag{3} w(\frac {dv} {dx} + \frac {v} {x}) + v \frac {dw} {dx} = -1

dvdx+vx=0(4)\tag{4} \frac {dv} {dx} + \frac {v} {x} = 0

此时我们得到了一个一阶齐次线性微分方程,可以用分离变量法了

1vdv=1xdx(5)\tag{5} \frac 1 {v} dv = - \frac 1 {x} {dx}

对(5)两边同时积分

1vdv=1xdx    ln(v)+k1=ln(x)+k2    ln(vx)=k    v=kx(6)\int \frac 1 v dv = \int - \frac 1 {x} {dx} \implies ln(v) + k_1 = -ln(x) + k_2 \implies ln(vx) = k \\ \implies \tag{6} v = \frac k x

把(6)代入到3中

dwdxkx=1    kdw=xdx(7)\frac {dw} {dx} \frac k x = -1 \tag{7} \implies kdw = -x dx

对(7)两边同时积分

kdw=xdx    kw+C1=12x2+C2    w=12kx2+C(8)\int kdw = \int -xdx \implies kw + C_1 = -\frac 1 2 x^2 + C_2 \\ \tag{8} \implies w = -\frac 1 {2k} x^2 + C

vw相乘得到u

u=vw=kx(12kx2+C)    u=12x+Cxy=1u    y=1(12x+Cx)(9)u = vw = \frac k x (-\frac 1 {2k} x^2 + C) \implies u = -\frac 1 2 x + \frac C x \\ y = \frac 1 u \implies \tag{9} y = \frac 1 {(-\frac 1 2 x + \frac C x)}

将y(1)代入(9)得到常数 C=1C = 1

所以最终得到的y是

y=2x2x2y = \frac {2x} {2 - x^2}

总结

虽然这道题形式看起来很简单,但是计算量着实不小,涉及到复合函数求导,函数乘法、除法求导,对数函数加减运算,对数函数积分公式等。题目不难,但是10年前我上大一的时候算这道题肯定会快很多,how time flies😄️